Iterační proces

Řešení $\vec{x}$ lineární rovnice ${\bf A} \vec{x} = \vec{b}$ odhadneme vektorem $\vec{x}^{(0)}$ a další přiblížení k přesnému řešení vypočteme pomocí předpisu

$$\vec{x}^{(k+1)}={\bf B}_k \vec{x}^{(k)} + \vec{c}^{(k)}$$

Pro řešení $\vec{x}$ musí platit

$$\vec{x} = {\bf B}_k \vec{x} + \vec{c}_k.$$

Odtud vyplývá $\vec{x}^{(k+1)} - \vec{x} = {\bf B}_k(\vec{x}^{(k)}-\vec{x}) = {\bf B}_k {\bf B}_{k-1} (\vec{x}^{(k-1)}-\vec{x}) = \dots$.

Pro konvergenci iteračního procesu je tedy nutné a stačí, aby

$$\lim_{k\to\infty}{\bf B}_k{\bf B}_{k-1}\dots {\bf B}_0 = {\bf0}.$$

Iterační metody dělíme na metody stacionární, které mají matici ${\bf B}$ konstantní ( ${\bf B}_k={\bf B}$), a na metody nestacionární.