Podmíněnost řešení soustavy lineárních rovnic

Vzhledem k chybám vstupních údajů a zaokrouhlení místo ${\bf A} \vec{x} = \vec{b}$ řešíme úlohu

$$\left({\bf A} + \Delta {\bf A}\right) \left(\vec{x} + \Delta\vec{x}\right) = \vec{b} + \Delta \vec{b}$$

Nejdříve případ $\Delta {\bf A} = 0$

$$\Delta \vec{x} = {\bf A}^{-1} \Delta \vec{b} \Rightarrow \Vert \Delta \vec{x} \Vert \le \Vert {\bf A}^{-1} \Vert \cdot \Vert \Delta \vec{b}\Vert$$

$${\bf A} \vec{x} = \vec{b} \Rightarrow \Vert \vec{x} \Vert \ge \Vert \vec{b} \Vert / \Vert {\bf A} \Vert$$

Pro relativní chybu řešení tedy platí

$$\frac{\Vert \Delta \vec{x} \Vert}{\Vert \vec{x} \Vert} \le \... ...Vert \cdot \frac{\Vert \Delta\vec{b}\Vert}{\Vert \vec{b}\Vert}$$

Číslo $C_p = \Vert {\bf A} \Vert \cdot \Vert {\bf A}^{-1} \Vert$ se nazývá podmíněnost matice.

Pokud je i $\Delta {\bf A} \ne 0$, pak

$$\frac{\Vert \Delta \vec{x} \Vert}{\Vert \vec{x} \Vert} \le C... ...1 - C_p \frac{\Vert \Delta {\bf A}\Vert}{\Vert {\bf A}\Vert} }$$

Pro $C_p \gg 1$ je soustava špatně podmíněná a malé chyby vstupních dat i malé zaokrouhlovací chyby ve výpočtu se projeví velkou chybou řešení.