Odhad chyby a automatická volba kroku

Existují 2 metody odhadu chyby pro automatickou volbu kroku

1. Srovnání výsledku 2 kroků o délce $h$ s výsledkem 1 kroku o délce $2h$
2. Srovnání výsledku 2 Runge-Kuttových metod různého řádu $\rightarrow$ vnořené RK metody (viz následující odstavec)

Srovnáme výsledky získané se dvěma kroky $h$ a s jedním krokem $2h$. V následujících vztazích je $\Delta$ odhad chyby.

$$y(x+2h) = y_h + 2 C\, h^5 + O(h^6) + \dots$$

$$y(x+2h) = y_{2h} + C\, (2h)^5 + O(h^6) + \dots$$

$$\Delta \equiv \frac{y_h - y_{2h}}{15} = 2 C\, h^5 + O(h^6)$$

Veličina $\Delta$ je tedy odhadem chyby $y_h$.

Je-li známa požadovaná maximální lokální chyba $\Delta_0$ a při kroku $h$ je odhadovaná chyba $\Delta$, postupujeme takto:

• Je-li $\vert\Delta\vert \leq \vert\Delta_0\vert$, krok přijmeme a zvětšíme velikost následujícího kroku. Protože $h \sim \sqrt[{\scriptstyle 5}]{\Delta}$, zvětšíme krok na
  
  $$h' = S~h \sqrt[{\scriptstyle 5}\ ]{\left\vert \frac{\Delta_0}{\Delta} \right\vert}\ \ ,$$
  
  
  kde $S \simeq 0.9$ je bezpečnostní faktor. Obvykle při zvětšování kroku omezujeme maximální velikost poměru $h'/h$ (typicky $h'/h \leq 4$).
• Je-li $\vert\Delta\vert > \vert\Delta_0\vert$, krok nelze přijmout, výpočet provedeme znovu. Při zmenšování kroku vezmeme v úvahu, že chyba kroku je násobena počtem kroků $N \sim h^{-1}$. Jde tedy o metodu 4-tého řádu a krok zmenšíme na
  
  $$h' = S~h \sqrt[{\scriptstyle 4}\ ]{\left\vert \frac{\Delta_0}{\Delta} \right\vert}\ \ .$$
  
  

Obvykle požadujeme lokální relativní chybu řešení $\leq \varepsilon$. Požadované relativní přesnosti zřejmě nelze dosáhnout pro $y = 0$. Při odhadu chyby proto přidáme odhad změny v 1 kroku a navíc přidáme malou povolenou absolutní chybu $\delta$, protože nelze apriori vyloučit případ $y = y' = 0$. Pak vypočteme

$$\Delta_0 = \varepsilon \left( \vert y\vert + h\ \left\vert\f... ...on \left( \vert y\vert + h\ \vert f(x,y)\vert \right) + \delta$$

Pro soustavu rovnic jde vektor $\vec{\Delta}_0$, jeho složky $\Delta_{0i}$ určujeme stejným způsobem. Krok vybíráme tak, aby podmínka $\Delta_i < \Delta_{0i}$ platila pro $\forall$ složky řešení.

Zpřesnění výsledku Výsledek vypočtený RK metodou 4. řádu můžeme zpřesnit použitím vztahu

$$y(x + 2h) = \frac{16}{15} y_h - \frac{1}{15} y_{2h} + O(h^6) = y_h + \Delta + O(h^6) \ \ .$$

Tím získáme metodu 5. řádu přesnosti.