Ukázka konstrukce - Runge-Kuttova metody 2. řádu

Zvolíme tedy $r = 2$ a můžeme odvodit

$$\Phi_{RK} (x_n, y_n, h) = p_{21} f(x_n, y_n) + p_{22} f(x_n + \alpha_2 h, y_n + \beta_{21} h f(x_n, y_n)) =$$

$$= \Phi_{RK} (x_n, y_n, 0) + h \Phi'_{RK} (x_n, y_n, 0) + O(h^2) =$$

$$= p_{21} f(x_n, y_n) + p_{22} f(x_n, y_n) + h p_{22} \left[ f_x (x_n, y_n) \alpha_2 + \right.$$

$$+ \left. f_y (x_n, y_n) \beta_{21} f(x_n, y_n) \right] + O(h^2) \ \ ,$$

kde $f_x \equiv \partial f/\partial x$, $f_y \equiv \partial f/\partial y$ a $\Phi'$ je derivace $\Phi$ podle $h$.

Porovnáme výrazy u nulté a první mocniny $h$ funkce $\Phi_{RK}$ s přírůstkem $\Phi_T$ ( $y(x_n +h) = y(x_n) + h \Phi_T$) vyjádřeným z Taylorova rozvoje

$$\!\!\!\! \Phi_T = f(x_n, y_n) + \frac{h}{2} \frac{{\rm d}\, f... ...O(h^2) = f(x_n, y_n) + \frac{h}{2} (f_x + f\cdot f_y) + O(h^2)$$

a dostaneme

$$h^0 : p_{21} + p_{22} = 1$$

$$h f_x : p_{22} \alpha_2 = \frac{1}{2}$$

$$h f_y : p_{22} \beta_{21} = \frac{1}{2}$$

Tato soustava má nekonečně mnoho řešení, ale logice Runge-Kuttových metod odpovídají následující 2 řešení řešení.

1. Řešení $\alpha_2 = 1$, $\beta_{21} = 1$ a $p_{21} = p_{22} = 1/2$ dává metodu analogickou lichoběžníkové metodě integrace. Zde je
   
   $$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!k_2 = f\left( x_n + h, y_n + h f(x_n, y_... ...ad {\rm a} \qquad y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2} (k_1 + k_2)\ \ .$$
   
   

2. Řešení $\alpha_2 = \beta_{21} = 1/2$, $p_{21} = 0$ a $p_{22} = 1$ dává metodu analogickou obdélníkové metodě integrace. Zde je
   
   $$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!k_2 = f\left( x_n + \frac{h}{2}, y_n + \... ..._n)\, \right) \qquad {\rm a} \qquad y_{n+1} = y_n + h k_2\ \ .$$