Princip Runge-Kuttových metod

Jsou to v praxi velmi často používané metody. K nalezení řešení $y_{n+1} = y(x_{n+1})$ se využívá pouze předchozího bodu $(x_n, y_n)$, nevyužívá bodů s indexem $k < n$. Takové metody nazýváme jednokrokové.

Metody Runge-Kutta jsou založeny na postupném zpřesňování hodnot v bodech mezi $x_n$ a $x_{n+1}$ včetně (obvykle se využívá bodu $x_n + h_n/2$). Výpočetní vzorec Runge-Kuttovy metody má tvar

$$y_{n+1} = y_n + h \Phi_{RK} (x_n, y_n, h) \ \ ,$$

kde

$$\Phi_{RK} (x_n, y_n, h) = p_{r1} k_1(h) + p_{r2} k_2(h) + \dots + p_{rr} k_r(h) \ \ ,$$

a dále

$$k_1(h) = f(x_n, y_n)$$

$$k_2(h) = f(x_n + \alpha_2 h, y_n + h \beta_{21} k_1)$$

$$\vdots$$

$$k_r(h) = f\left[ x_n + \alpha_{r} h, y_n+ h (\beta_{r1} k_1 + \beta_{r2} k_2 + \dots + \beta_{r,r-1} k_{r-1})\right]$$

Pokud zvolíme $r=1$, dostaneme Eulerovu metodu. Pro $r \leq 4$ se řád metody může rovnat $r$ (chyba 1 kroku $\sim h^{r+1}$). Pro konstrukci metody 5. řádu je však zapotřebí alespoň $r = 6$.