Variační metody

Místo hledání řešení v určitých bodech, hledají variační metody řešení v jisté třídě funkcí, pokud je $\varphi_k (x)$ úplný systém funkcí, lze řešení napsat

$$y(x) = \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_k \varphi_k (x)$$

a zbývá najít neznáme koeficienty $a_k$. Samozřejmě se pak omezíme na konečný počet funkcí.

Převedeme okrajové podmínky na homogenní a obyčejnou diferenciální rovnici napíšeme ve tvaru

$$A\ y(x) = f(x) \qquad L_m^{(a)}\, y = 0 \qquad L_m^{(b)}\, y = 0$$

kde $A$ je diferenciální operátor. Zvolíme bázové funkce $\varphi_k (x)$ takové, že $\forall$ splňují okrajové podmínky. V prostoru funkcí zavedeme skalární součin, často $(u,v) = \int \limits_a^b u(x)\, v(x)\ {\rm d}x$.

Pozn. Většina metod je určena pro lineární operátory $A$, ale např. Galerkinovu metodu lze užít i pro nelineární operátory.

Galerkinova metoda

$$A\ y = f \qquad \Rightarrow (A y - f,\varphi_j) = 0 \qquad \forall \quad j = 1, \dots, n$$

Uvažujeme přibližné řešení ve tvaru

$$y_n = \sum \limits_{k = 1}^{n} a_k \varphi_k$$

Po dosazení získáme systém rovnic pro koeficienty $a_k$

$$\!\!\!\!\!\!\!\!\! (A y_n - f, \varphi_j) = \int \limits_a^b ... ...k=1}^n a_k \varphi_k ] - f, \varphi_j \right) \ {\rm d}x \ = 0$$

Metoda konečných prvků (finite element method) je variační metoda, která užívá speciální bázové funkce, z nichž každá je nenulová jen v určitém krátkém intervalu. Bázové funkce pro metodu konečných prvků mohou být například:

$$\varphi_i = 0 \qquad {\rm pro} \qquad x \leq x_{i-1}$$

$$\varphi_i = 1 - \frac{x_i - x}{x_i - x_{i-1}} \qquad {\rm pro} \qquad x_{i-1} \leq x \leq x_i$$

$$\varphi_i = 1 - \frac{x - x_i}{x_{i+1} - x_i}\qquad {\rm pro} \qquad x_i \leq x \leq x_{i+1}$$

$$\varphi_i = 0 \qquad {\rm pro} \qquad x_{i+1} \leq x$$

Uvedený tvar bázových funkcí lze použít, pokud diferenciální rovnice obsahují maximálně 2. derivaci, jinak je třeba volit hladší bázové funkce (např. zvonové spliny).