next up previous
Next: Vlastnosti Runge-Kuttových metod Up: Runge-Kuttovy metody pro řešení Previous: Vnořené (embedded) Runge-Kutta metody

Lokální a globální chyba Runge-Kuttových metod

Věta o lokální chybě Nechť je dána rovnice $y' = f(x,y)$, kde funkce $f$ v okolí bodu $(x_0,y_0)$$\forall$ spojité parciální derivace řádu $k \leq p$. Nechť

\begin{displaymath}
y_1 = y(x_0) + h \Phi (x_0,y_0,h) = y(x_0) + h \sum_{i=1}^{r} p_{ri}
k_i (x_0,y_0,h)
\end{displaymath}

je krok RK metody $p$-tého řádu. Index $^{(p)}$ značí $p$-tou derivaci. Pak
$\displaystyle \left\vert y_1 - y(x_0 + h) \right\vert$ $\textstyle \leq$ $\displaystyle h^{p+1} \left(
\frac{1}{(p+1)!} \max_{t \in (0,1)} \left\vert y^{(p+1)} (x_0 + t . h) \right\vert
+ \right.$  
  $\textstyle +$ $\displaystyle \left. \frac{1}{p!} \sum_{i=1}^{r} \vert p_{ri}\vert \max_{t \in (0,1)}
\left\vert k_i^{(p)} (t . h) \right\vert \right)$  

Věta o globální chybě Nechť pro lokální chybu RK metody platí

\begin{displaymath}
\left\vert y(x+h) - y(x) - h\ \Phi_{RK} \left[ x,y(x),h\right] \right\vert
\leq C h^{p+1}
\end{displaymath}

a nechť $\exists \Lambda > 0$ takové, že v nějakém okolí řešení platí

\begin{displaymath}
\left\vert \Phi_{RK} \left( x,z,h\right) - \Phi_{RK} \left( x,y,h\right) \right\vert
\leq \Lambda \vert z - y\vert \ \ .
\end{displaymath}

Pak pro přesnost numerického řešení $y_N$ v bodě $x_N$ platí

\begin{displaymath}
\delta = \left\vert y_N - y(x_N) \right\vert \leq h^p \ \frac{C}{\Lambda}
\left\{ \exp [ \Lambda (x_N - x_0) ] - 1 \right\}
\end{displaymath}



Jiri Limpouch
2000-05-25