next up previous
Next: Gaussovy kvadratury Up: Numerická integrace (kvadratura) Previous: Rombergova integrace

Integrály se singularitami

  1. Na okraji má $f(x)$ konečnou limitu, ale nelze tam $f(x)$ přímo počítat ( $\frac{\sin x}{x}$ v bodě $x = 0$).
  2. Integrál má okraj v bodech $+\infty$ nebo $-\infty$.
  3. Integrabilní singularita na okraji.
  4. Integrabilní singularita ve známém bodě uprostřed.
  5. Integrabilní singularita v neznámém bodě uprostřed. Řešíme vždy jako obyčejnou diferenciální rovnici (ODE).

Pozn. Neexistující nebo nekonečný integrál neřešíme, protože je to nekorektní úloha.

1. případ - funkci nelze počítat na okraji

Použijeme složené obdélníkové pravidlo

$\displaystyle \int \limits_{x_1}^{x_N} f(x)\, {\rm d}x =$ $\textstyle h$ $\displaystyle \left[ f_{\frac{3}{2}} +
f_{\frac{5}{2}} + \dots + f_{n - \frac{1}{2}} \right] +$  
  $\textstyle +$ $\displaystyle \frac{B_{2k} h^{2k}}{(2k)!} \left( 1 - 2^{-2k+1} \right) \left(
f_N^{(2k-1)} - f_1^{(2k-1)} \right) + \dots$  

Při půlení podintervalů nelze využít předchozí body. Proto užijeme $h/3$, pak je implementace obdobná jako u lichoběžníkového pravidla. I zde můžeme použít Rombergovu metodu, která provádí extrapolaci integrálu na $h^2 = 0$.

Integrál s nekonečnými mezemi

Integrál transformujeme na integrál s konečnými mezemi a pro ten užijeme složené obdélníkové pravidlo.

Například po substituci $t = 1/x$ dostaneme

\begin{displaymath}
\int \limits_a^b f(x)\, {\rm d}x = \int \limits_{\frac{1}{b}...
...1}{a}}
\frac{1}{t^2}\ f \left( \frac{1}{t} \right)\, {\rm d}t,
\end{displaymath}

Tuto substituci lze použít pokud interval integrace neobsahuje 0, jinak integrál rozdělíme na více integrálů.

Často integrály rozdělíme $\int_a^{+\infty} = \int_a^d +
\int_d^{+\infty}$ tak, aby od bodu $d$ integrovaná funkce v absolutní hodnotě klesala.

Integrál s integrabilní singularitou

Transformace záleží na charakteru funkce. Pokud $f(x)_{x \to a} \sim (x - a)^{-\gamma}$, kde $0 \leq \gamma
< 1$, provádíme transformaci $t = (x - a)^{1 - \gamma}$. Potom platí

\begin{displaymath}
\int \limits_a^b f(x)\, {\rm d}x = \frac{1}{1 - \gamma} \int...
...tstyle 1}}{{\scriptstyle 1 - \gamma}}} + a \right)
\, {\rm d}t
\end{displaymath}


next up previous
Next: Gaussovy kvadratury Up: Numerická integrace (kvadratura) Previous: Rombergova integrace
Jiri Limpouch
2000-04-27