next up previous
Next: Rombergova integrace Up: Klasické kvadraturní vzorce Previous: Složené vzorce

Praktická implementace složeného lichoběžníkového pravidla

\epsfbox {trojuh.eps}

Podintervaly při jednotlivých voláních lichoběžníkového pravidla

Postup přidávání bodů - hodnoty proměnných NV, NS, N a ND:
volání NV počet subintervalů NS počet bodů N počet přidaných bodů ND
1 1 2 0
2 2 3 1
3 4 5 2
4 8 9 4

Pro začátek integrace ${\tt NV} = 1$, je algoritmus


Int := (b - a) / 2 * (f(a) + f(b));
ND := 1;

Pro volání ${\tt NV} = k > 1$ je algoritmus


HD := (b - a) / ND;
SUM := 0; x := a + 0.5 * HD;
for j := 1 to ND do
   begin
      SUM := SUM + f(x);
      x := x + HD
   end;
Int := 0.5 * (Int + (b - a) * SUM / ND);
ND := 2 * ND;

Postupné zpřesňování při jednotlivých voláních odpovídá půlení podintervalů.
Přitom se využije předchozích bodů.
Odhad chyby získáme porovnáním výsledků pro $h$ a $h/2$.

Odhad chyby pro rozšířené lichoběžníkové pravidlo.

Chyba je funkcí jen sudých mocnin $1/N$. Chyba je dána okrajem

$\displaystyle \int \limits_{x_1}^{x_N} =$ $\textstyle h$ $\displaystyle \left[ \frac{1}{2} f_1 + f_2 + f_3 +
\dots + f_{N-1} + \frac{1}{2} f_N \right] - \frac{B_2 h^2}{2!}
\left( f'_N - f'_1 \right) - \dots -$  
  $\textstyle -$ $\displaystyle \frac{B_{2k} h^{2k}}{(2k)!}
\left( f_N^{(2k-1)} - f_1^{(2k-1)} \right) - \dots$  

V předchozím vztahu jsou $B_k$ Bernoulliova čísla, pro která platí $B_0 = 1$, $B_2 = 1/6$, $B_4 = -1/30$, $B_6 = 1/42$, $B_8 = - 1/30$, $B_{10} = 5/66$ a $B_{12} = - 691/2730$. Rozvoj nemusí konvergovat, jde o asymptotický rozvoj. Chyby rozvoje můžeme odhadnout shora dvojnásobkem absolutní hodnoty nejnižšího zanedbaného členu.

Zpřesnění výsledku

\begin{displaymath}
I~= \frac{4}{3} I_h - \frac{1}{3} I_{2h} \sim O(h^4)
\end{displaymath}

Výsledek je zpřesněn ze dvou následujících výsledků integrační procedury. Tento výsledek je identický se složeným Simpsonovým pravidlem.


next up previous
Next: Rombergova integrace Up: Klasické kvadraturní vzorce Previous: Složené vzorce
Jiri Limpouch
2000-04-27