next up previous
Next: Metody řešení soustav lineárních Up: Úvod Previous: Úlohy lineární algebry

Některé základní pojmy a označení

Vektorem zde budeme rozumět sloupcový vektor, horní index T označuje transponovaný vektor (nebo matici), matici označujeme tučným písmem

\begin{displaymath}\hspace*{-4ex}
\vec{x} = \left( \begin{array}{c}x_1 \\ x_2 \\...
... & \ldots & a_{nm} \end{array} \right) =
\left( a_{ij} \right)
\end{displaymath}

Pokud nebude uvedeno jinak, budeme uvažovat reálné matice a vektory.

Mírou velikosti vektorů a matic je jejich vektorová norma. Vektorová norma musí splnit 3 podmínky a) $ \Vert \vec{x} \Vert \ge 0$ a $ \Vert \vec{x} \Vert = 0 \Leftrightarrow \vec{x} = \vec{0}$ b) $ \Vert \lambda \vec{x} \Vert = \vert \lambda \vert \Vert \vec{x} \Vert $ a c) $ \Vert \vec{x} + \vec{y}\Vert \le \Vert \vec{x} \Vert + \Vert \vec{y} \Vert$.

Příklady vektorových norem

Maticová norma

Vektorová norma matice se nazývá maticovou normou, pokud navíc platí pro $\forall$ matice ${\bf A}$, ${\bf B}$ podmínka 4) pro součin matic

\begin{displaymath}
\Vert {\bf A} \cdot {\bf B} \Vert \le
\Vert {\bf A} \Vert \cdot \Vert {\bf B} \Vert
\end{displaymath}

Maticová norma je souhlasná s vektorovou normou, pokud pro $\forall$ ${\bf A}$, $\vec{x}$ platí

\begin{displaymath}
\Vert {\bf A} \vec{x} \Vert \le
\Vert {\bf A} \Vert \cdot \Vert \vec{x} \Vert
\end{displaymath}

Příklady maticových norem

Každá z uvedených maticových norem je souhlasná se stejně označenou vektorovou normou.


next up previous
Next: Metody řešení soustav lineárních Up: Úvod Previous: Úlohy lineární algebry
Jiri Limpouch
2000-03-08