Úvod

Nechť pro číslo $\lambda \ \exists \vec{x} \not = \vec{0}$ takový, že ${\bf A} \vec{x} = \lambda \vec{x}$. Pak $\lambda$ je vlastní číslo a vektor $\vec{x}$ je vlastní vektor matice ${\bf A}$.

2 typy úloh

1. Úplný problém vlastních čísel - hledání všech vlastních čísel matice a popřípadě i příslušných vlastních vektorů
2. Částečný problém vlastních čísel - hledání 1 nebo několika vlastních čísel (obvykle největších)

Charakteristický polynom matice ${\bf A}$ - determinant $\det({\bf A} - \lambda {\bf I})$.

Pozn. Je-li ${\bf A}$ matice $n \times n\$, je charakteristický polynom $n$-tého stupně, a tedy má $n$ kořenů (mohou být i vícenásobné). Ke každému vlastnímu číslu $\exists$ alespoň 1 vlastní vektor. Počet $l$ lineárně nezávislých (LN) vlastních vektorů je $l \le k$ ($k$ je násobnost vlastního čísla).

Pozn. Matice defektní má $< n$ lineárně nezávislých vlastních vektorů. Příklad

$${\bf A} = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ \end{... ...= (1 - \lambda)^2 = 0, \quad {\rm tedy } \, \lambda_{1,2} = 1.$$

Vektor $\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right)$ je jediným vlastním vektorem ${\bf A}$.

Pozn. Reálná matice může mít komplexně sdružená vlastní čísla a vlastní vektory. Například

$${\bf A} = \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 1 \\ \end... ...mbda)^2 + 1 = 0, \quad {\rm tedy } \, \lambda_{1,2} = 1 \pm i.$$

Vlastní vektory jsou $\vec{x}_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -i \\ \end{array} \right)$ a $\vec{x}_2 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ i \\ \end{array} \right)$.

Normální matice ${\bf A}$ je taková, že ${\bf A}^{\rm\!\! T} {\bf A} = {\bf A}^{\rm\!\! T} {\bf A}$ Normální matice řádu $n$ má $n$ LN vlastních vektorů.

Pozn. Symetrická matice ( ${\bf A} = {\bf A}^{\rm\!\! T}$) má všechna vlastní čísla reálná.

Pozn. Trojúhelníkové matice mají všechna vlastní čísla na diagonále.

Věta Podobné matice ${\bf A}$ a ${\bf P}^{-1} {\bf A} {\bf P}$ mají stejná vlastní čísla (stejné spektrum).
Odvození

$$\det ({\bf P}^{-1} {\bf A} {\bf P} - \lambda {\bf I}) = \det [{\bf P}^{-1} ({\bf A} - \lambda {\bf I}) {\bf P}] = \det ({\bf P}^{-1}) \det ({\bf A} - \lambda {\bf I}) \cdot$$

$$\cdot \det ({\bf P}) = \det ({\bf A} - \lambda {\bf I})$$

Pokud je vektor $\vec{x}$ vlastním vektorem matice ${\bf A}$, pak vektor ${\bf P}^{-1} \vec{x}$ je vlastním vektorem matice ${\bf P}^{-1} {\bf A} {\bf P}$.

Věta Ke každá matici $\exists$ jí podobná matice v Jordanově normálním tvaru

$${\bf J} = \left( \begin{array}{cccc} {\bf J}_1 & 0 & \ldots ... ...ots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & \lambda \\ \end{array} \right) .$$

Pozn. Pro $\forall$ normální matici $\exists$ podobná matice diagonální.

Pozn. Neexistuje finitní postup jak provést transformaci matice na Jordanův normální tvar.

Numerické metody řešení úplného problému vlastních čísel

1. Sekvence elementárních transformací $\longrightarrow$ na přibližně diagonální tvar (příp. Jordanův normální tvar) nebo přibližně speciální typ (např. tridiagonální nebo Hessenbergova matice).
2. Rozložíme matici ${\bf A}$ na součin dvou matic ${\bf A} = {\bf F}_L \cdot {\bf F}_R$. Matice ${\bf\tilde A} = {\bf F}_R {\bf F}_L$ je podobná matici ${\bf A}$.
   Odvození ${\bf F}_R {\bf F}_L = {\bf F}_L^{-1} {\bf F}_L {\bf F}_R {\bf F}_L = {\bf F}_L^{-1} {\bf A} {\bf F}_L$.