Jacobiho metoda

Předpokladem metody je, že matice ${\bf A}$ má nenulové diagonální prvky $a_{ii} \not= 0$. Složky $k+1$ Jacobiho iterace řešení jsou dány

$$x_i^{(k+1)} = - \frac{a_{i1}}{a_{ii}} x_1^{(k)} - \dots - \f... ...- \dots - \frac{a_{in}}{a_{ii}} x_n^{(k)} - \frac{b_i}{a_{ii}}$$

Matici ${\bf A}$ lze zapsat ve tvaru

$${\bf A} = {\bf D} + {\bf L} + {\bf R}\ ,$$

kde ${\bf D}$ je diagonální, ${\bf L}$ je dolní trojúhelníková a ${\bf R}$ horní trojúhelníkovou matici (${\bf L}$ a ${\bf R}$ mají nulovou diagonálu).

Jacobiho iteraci lze zapsat ve tvaru

$$\vec{x}^{(k+1)} = - {\bf D}^{-1} ({\bf L} + {\bf R}) \vec{x}^{(k)} + {\bf D}^{-1} \vec{b}$$

Věta Pokud je matice ${\bf A}$ diagonálně dominantní, pak Jacobiho metoda konverguje.
Důkaz Pro diagonálně dominantní matici platí

$$\sum \limits_{j=1, j \not= i}^{n} \frac{\vert a_{ij}\vert}{\vert a_{ii}\vert} < 1$$

a tedy řádková norma matice $\Vert {\bf D}^{-1} ({\bf L} + {\bf R}) \Vert <1$.