Nekonečné zlomky

Nekonečné zlomky jsou funkce ve tvaru

$$f(x) = b_0 + \frac{a_1}{b_1 + \frac{a_2}{b_2 + \frac{a_3}{b_3 + \dots}}}\ \ .$$

Často se používá jejich zápis ve tvaru

$$f(x) = b_0 + \frac{a_1}{b_1+}\ \frac{a_2}{b_2+}\ \frac{a_3}{b_3+}\ \dots\ \ .$$

Například pro funkci ${\rm tg} (x)$ existuje vyjádření pomocí nekonečného zlomku

$${\rm tg} (x) = \frac{x}{1-}\ \frac{x^2}{3-}\ \frac{x^2}{5-}\ \frac{x^2}{7-}\ \dots\ \ .$$

Přímý výpočet složeného zlomku je nepraktický, navíc zvýšení řádu aproximace vyžaduje nový výpočet od počátku. Proto je výhodný rekurentní postup

$$f_n = \frac{A_n}{B_n}\ , \quad {\rm kde} \quad A_j = b_j A_{... ... A_{j-2} \quad {\rm a} \quad B_j = b_j B_{j-1} + a_j B_{j-2} .$$

Počáteční hodnoty klademe $A_{-1} \equiv 1$, $B_{-1} \equiv 0$, $A_0 \equiv b_0$ a $B_0 \equiv 1$.