Semiimplicitní Eulerova metoda

Implicitní metody jsou vhodné pro lineární diferenciální rovnice, kde pro výpočet $\vec{y}_{i+1}$ je nutno řešit systém lineárních rovnic. Řešit systém nelineárních rovnic je ale obtížné, proto rovnice pro $\vec{y}_{i+1}$ linearizujeme. Takové metody nazýváme semiimplicitní.

Linearizujeme implicitní Eulerovu metodu $\vec{y}_{n+1} = \vec{y}_n + h \vec{f}(x_{n+1}, \vec{y}_{n+1})$ a dostaneme

$$\vec{f} (x_{n+1}, \vec{y}_{n+1}) = \vec{f}(x_{n+1}, \vec{y}_... ...ht\vert _{x_{n+1}, \vec{y}_n} (\vec{y}_{n+1} - \vec{y}_n)\ \ ,$$

kde parciální derivace vektoru je matice $\partial f_i/\partial x_j$. Odtud potom

$$\vec{y}_{n+1} = \vec{y}_n + h \left[ {\bf I} - \left. h\, \f... ...+1}, \vec{y}_n} \right]^{-1} \cdot \vec{f} (x_{n+1}, y_n)\ \ .$$

Mocnina $-1$ znamená inverzní matici. V každém kroku tedy řešíme systém lineárních rovnic.

Pozn. Semiimplicitní metody nejsou A-stabilní, ale dovolují podstatně delší krok než explicitní metody.