Úvod

Obyčejnou diferenciální rovnici $N$-tého řádu

$$f \left( x, y, y', y'',\dots, y^{(N)} \right) = g(x)$$

převádíme na soustavu $N$ diferenciálních rovnic 1. řádu. Provedeme substituce

$$y' \equiv z_1 \qquad y'' \equiv z_2 \qquad \dots \qquad y^{(N-1)} \equiv z_{N-1}$$

a dostaneme soustavu

$$y' = z_1 \qquad z'_1 = z_2 \qquad \dots \qquad z'_{N-2} = z_{N-1}$$

$$f(x, y, z_1, \dots, z_{N-1}, z'_{N-1}) = g(x)$$

Poslední rovnici lze obvykle rozřešit vzhledem k $z'_{N-1}$, pak ji lze psát ve tvaru

$$z'_{N-1} = \tilde{g} (x,y, z_1, \dots, z_{N-1}).$$

K jednoznačnosti řešení musí $N$ rovnic prvního řádu (1 rovnice $N$-tého řádu) splňovat $N$ podmínek.

Podle zadání podmínek rozlišujeme 2 základní úlohy

• Počáteční problém - $\forall$ podmínky jsou zadány v jednom bodu (mohu přímo sledovat řešení vycházející z tohoto bodu)
• Okrajový problém - $\forall$ podmínky nejsou zadány v jednom bodu - nejčastěji jsou podmínky zadány ve 2 bodech na okrajích, ale mohou být i jiné, např. integrální podmínky