Uzavřené Newton-Cotesovy vzorce

Lichoběžníkové pravidlo

Vzorec

$$\int \limits_{x_1}^{x_2} f(x)\, {\rm d}x = h \left[ \frac{1}{2} f_1 + \frac{1}{2} f_2 \right] + O \left( h^3 f'' \right)$$

je přesný pro polynomy do prvního stupně včetně.

Chybu vzorce můžeme odvodit pomocí rozkladu do Taylorovy řady

$$\int \limits_{x_1}^{x_2} f(x)\, {\rm d}x = \int \limits_0^h \left[ f(x_1) + f'(x_1) \tilde{x} + f''(x_1) \frac{\tilde{x}^2}{2} + \dots \right] d \tilde{x} =$$

$$= h [ \frac{1}{2} f_1 + \frac{1}{2} \underbrace{\left( f_1 + f'(x_1)h + \frac{1}{2} f''(x_1) h^2 + \dots \right)}_{f_2} ] +$$

$$+ \underbrace{f''(x_1) \left( \frac{h^3}{6} - \frac{h^3}{4} \right)... ...\frac{1}{12} f''(x_1) h^3} = \frac{h}{2} (f_1 + f_2) + O \left( h^3 f'' \right)$$

Simpsonovo pravidlo

Je to tříbodový vzorec konstruovaný pro polynom druhého stupně, ale je přesný i pro integraci polynomu třetího stupně

$$\int \limits_{x_1}^{x_3} f(x)\, {\rm d}x = h \left[ \frac{1}... ...} f_2 + \frac{1}{3} f_3 \right] + O \left( h^5 f^{(4)} \right)$$

Simpsonovo 3/8 pravidlo

Je to čtyřbodový vzorec, přesný pro integraci polynomu třetího stupně

$$\int \limits_{x_1}^{x_4} f(x)\, {\rm d}x = h \left[ \frac{3}... ...} f_3 + \frac{3}{8} f_4 \right] + O \left( h^5 f^{(4)} \right)$$