Integrace metodou Monte Carlo

Pokud funkci $f$ vypočteme v $N$ náhodných bodech v integrační oblasti , pak

$$\int f(\vec{x})\, {\rm d}V \approx V \bar{f} \pm V \sqrt{\frac{\bar{f^2} - \bar{f}^2}{N}} \ \,$$

kde $V$ je objem integrační oblasti a $\bar{f}$ označuje aritmetický průměr funkčních hodnot. Přesnost integrálu metodou Monte Carlo je tedy $\sim N^{-1/2}$.

Integrace metodou Monte Carlo

Při výpočtu integrálu metodou Monte Carlo uzavřeme integrační oblast $V$ do co nejmenší oblasti se známým objemem $V'$, ve které lze snadno generovat náhodné body. Zavedeme funkci

$$\tilde{f}(\vec{x}) = \left\{ \begin{array}{ll}0 & \vec{x} \n... ... f(\vec{x}) \hspace*{2ex} & \vec{x} \in V \end{array} \right.$$

definovanou na oblasti $V'$.

Vygenerujeme $N$ náhodných bodů ve $V'$ a integrál vypočteme ze vzorce

$$I \simeq \frac{V'}{N}\ \sum_{i=1}^N \ \tilde{f}(\vec{x_i})$$