Sturmova věta

Nejprve definujeme Sturmovu posloupnost, je to posloupnost polynomů $f_0(x) = f(x)$, $f_1(x) = f'(x)$, $\dots, f_k$, kde $-f_{i+1}$ je zbytek po dělení $f_{i-1}/f_i$ a poslední člen posloupnosti je $f_k = {\rm const.}$, kde $k \leq n$.

Sturmova věta - Nechť algebraická rovnice má pouze jednoduché kořeny, potom počet reálných kořenů na intervalu $\langle \alpha, \beta \rangle$ je roven rozdílu počtu znaménkových změn ve Sturmově posloupnosti $f_0, f_1, \dots, f_k$.

Pokud má algebraická rovnice násobné kořeny, tedy $f_k = 0$, dělíme ji polynomem $f_{k-1}$ a použijeme Sturmovu větu. Odtud potom dostaneme počet kořenů (bez násobnosti) na daném intervalu.

Příklad na Sturmovu větu Máme polynom $f(x) = 4x^3 - 2x^2 - 4x - 3 = 0$, potom členy Sturmovy posloupnosti jsou

$$f_0 = 4x^3 - 2x^2 - 4x - 3,$$

$$f_1 = 3x^2 - x - 1, \qquad {\rm (bylo\ vyd\check{e}leno\ 4)}$$

$$f_2 = 26x + 29,$$

$$f_3 = -1.$$

Protože $f_3 = -1$, neexistují žádné násobné reálné kořeny. Znaménka členů Sturmovy posloupnosti zaneseme do tabulky.

$x$	$-\infty$	0	2	$+\infty$
${\rm sgn} f_0(x)$	-	-	+	+
${\rm sgn} f_1(x)$	+	-	+	+
${\rm sgn} f_2(x)$	-	+	+	+
${\rm sgn} f_3(x)$	-	-	-	-
$n_{\rm zm\check{e}n}$	2	2	1	1

Rozdíl počtu znaménkových změn v bodech $-\infty$ a $+\infty$ je jedna, zadaný polynom má tedy v tomto intervalu právě jeden kořen. Tento kořen leží mezi body 0 a 2, protože rozdíl počtu znaménkových změn v těchto bodech je opět jedna.