next up previous
Next: Kořeny polynomů Up: Řešení jedné nelineární rovnice Previous: Brentova metoda

Newton-Raphsonova (tečnová) metoda

Využívá první derivaci zadané funkce, proto je vhodná zejména pokud lze hodnoty derivací rychle počítat. Zadanou funkci $f(x)$ rozvineme do Taylorova rozvoje v okolí bodu $x_i$. Je-li $x = x_i + \delta$, pak platí

\begin{displaymath}
f(x) = f(x_i + \delta) = f(x_i) + \delta f'(x_i) +
\frac{\delta^2}{2} f''(x_i) + \dots
\end{displaymath}

Nahradíme Taylorovu řadu tečnou přímkou, $\delta$ přibližně určíme z podmínky

\begin{displaymath}
\delta = - \frac{f(x_i)}{f'(x_i)}\ \Rightarrow \
x_{i+1} = x_i - \frac{f(x_i)}{f'(x_i)}
\end{displaymath}

Pro nepřesnost $(i+1)$-ní aproximace kořene platí

\begin{displaymath}\epsilon_{i+1} = \epsilon_i + \delta =
\epsilon_i + \frac{f(x_i)}{f'(x_i)} \simeq - \epsilon_i^2\
\frac{f''(x_i)}{2\, f'(x_i)}
\end{displaymath}

Newton-Raphsonova metoda je tedy kvadratická metoda $\rightarrow$ rychlá blízko u kořene. Konvergence není zaručená, nutná kontrola ohraničení kořene a kombinace s metodou půlení intervalů.



Jiri Limpouch
2000-04-04