Laguerrova metoda hledání kořene

Polynom $n$-tého stupně $P_n(x) = (x - x_1) (x - x_2) \dots (x - x_n)$ má logaritmus $\ln \vert P_n (x)\vert = \ln \vert x - x_1\vert + \ln \vert x - x_2\vert + \dots + \ln \vert x - x_n\vert$. Definujeme

$$G \equiv \frac{P'_n}{P_n} = \frac{d \ln \vert P_n(x)\vert}{dx} = \frac{1}{x - x_1} + \frac{1}{x - x_2} + \dots + \frac{1}{x - x_n}$$

$$H \equiv \left[ \frac{P'_n}{P_n} \right]^2 - \frac{P''_n}{P_n} = - \frac{d... ...vert P_n(x)\vert}{dx^2} = \frac{1}{(x - x_1)^2} + \dots + \frac{1}{(x - x_n)^2}$$

Nyní $G$ a $H$ vyjádříme tak, že pro kořen $x_1$ nejbližší k $x$, položíme $a \equiv x - x_1$ a pro ostatní kořeny $x_i$ předpokládáme, že $b \sim x - x_i$. Potom

$$G = \frac{1}{a} + \frac{n-1}{b} \qquad {\rm a} \qquad H = \frac{1}{a^2} + \frac{n-1}{b^2}\ \ .$$

Odtud pro $a$ máme vztah

$$a = \frac{n}{G \pm \sqrt{(n-1)\, (n\, H-G^2)}},$$

kde za $\pm$ bereme takové znaménko, aby byl jmenovatel v absolutní hodnotě maximální.

Pozn. I při hledání reálných kořenů můžeme při využití této metody dostat komplexní mezivýsledky.

Pozn. Existuje ryze reálná metoda na výpočet reálných kořenů pomocí rozkladu na kvadratické polynomy ( Bairstowova metoda).