next up previous
Next: About this document ... Up: Hledání vlastních čísel a Previous: LU rozklad pro úplný

Částečný problém vlastních čísel

Hledáme vlastní číslo největší v absolutní hodnotě.

Zvolíme libovolný vektor $\vec{x}^{(0)}$. A dále počítáme iterace

\begin{displaymath}
\vec{x}^{(k+1)} = \frac{1}{\varrho_k} {\bf A} \vec{x}^{(k)}\...
...rm příp.} \quad \varrho_k = \Vert {\bf A} \vec{x}^{(k)} \Vert)
\end{displaymath}

Pak platí

\begin{displaymath}
\lim \limits_{k \to \infty} \varrho_k = \lambda_1
\quad \vee \quad \lim \limits_{k \to \infty} \vec{x}^{(k)} = \vec{x}_1
\end{displaymath}

Pokud chceme další vlastní číslo, redukujeme matici na řád $(n-1)$. Je-li vektor $\vec{x}_1 = (u_1, \dots , u_n)^{\rm T}$, platí

\begin{displaymath}
{\bf P} =
\left( \begin{array}{cccc}
u_1 & 0 & \ldots & 0 \\...
...vec{q}^{\rm T} \\
\vec{0} & {\bf B} \\
\end{array} \right)
.
\end{displaymath}

dále hledáme maximální vlastní číslo matice ${\bf B}$.

Pozn. Nevýhodou je postupná ztráta přesnosti.

Pozn. Pro výpočet nejmenšího vlastního čísla lze nalézt největší vlastní číslo matice ${\bf A}^{-1}$. Pro hledání vlastního čísla v určité oblasti lze provést posun, neboť $({\bf A} + \mu {\bf I}) \vec{x} = (\lambda + \mu) \vec{x}$.



Jiri Limpouch
2000-03-08