Chyby metody (aproximace)

• Při výpočtech derivace, integrálu apod. nahrazujeme nekonečně krátký krok konečným krokem
• Tento typ chyby nijak nesouvisí se zaokrouhlováním
• 1 veličinu lze aproximovat mnoha různými způsoby
• Řád metody - Je-li chyba veličiny úměrná $\delta y \sim h^\alpha \sim O(h^\alpha)$ pak nazýváme řádem metody

Ukázky různých způsobů aproximace - odvození chyby metody (obvykle se používá Taylorův rozvoj)

derivace

$$y = \left. \frac{{\rm d}f}{{\rm d}x} \right\vert _{x_1} \ \ \... ..._1 + h) - f(x_1)}{h} = f'(x_1) + \frac{h}{2} f''(x_1) + \cdots$$

$$\delta y = \frac{f''(x_1)}{2}\ h + \cdots \ \ \ \ \ ..... \ \ \ {\rm metoda\ 1.\ řádu}$$

$$y = \left. \frac{{\rm d}f}{{\rm d}x} \right\vert _{x_1} \ \lo... ...f(x_1 - h/2)}{h} = f'(x_1) + \frac{h^2}{24} f'''(x_1) + \cdots$$

$$\delta y = \frac{f'''(x_1)}{24}\ h^2 + \cdots \ \ \ \ \ ..... \ \ \ {\rm metoda\ 2.\ řádu}$$

integrál - obdélníková metoda šířka intervalu $h = \frac{b - a}{N}$

$$y = \int_a^b f(x) {\rm d}x \ \longrightarrow y \simeq h \sum_... ...x_i) \ \ \ .......... \ \ \ \ \ x_i = a + \frac{2i - 1}{2} \ h$$

chyba v 1 podintervalu

$$\int_{x_i - h/2}^{x_i + h/2} f(x)\ {\rm d}x \int_{-h/2}^{h/2} \left[ f(x_i) + \delta f'(x_i) + \frac{\delta^2}{2} f''(x_i) + \cdots \right] {\rm d} \delta =$$ =

$$h f(x_i) + 0 + \frac{h^3}{12} f''(x_i)$$ =

celková chyba

$$\vert \delta y \vert \simeq \left\vert \frac{h^3}{12} \sum_{i... ..._{x \in \left( a,b \right) } \vert f''(x)\vert h^2 \sim O(h^2)$$

Chyba metody vyššího řádu klesá rychleji při zmenšování kroku h. Pokud jsou metody jinak rovnocenné, vybereme metodu vyššího řádu.

Znalost řádu metody umožňuje

• Odhad chyby
• Zpřesnění výsledku

Nejjednodušší způsob - spočtu odhady výsledku y_h pro krok h a y_h/2 pro krok h/2

Příklad pro metodu 1.řádu

y_h = y + a h + b h²

$$y + a \frac{h}{2} + b \left( \frac{h}{2} \right)^2$$ y_h/2 =

Koeficienty a,b často nemohu spočítat, ale přesto platí

$$\delta y_{h/2} \simeq y_h - y_{h/2}\ \ \ \ \ \ ...... \ \ \ \ (\simeq a h / 2 \ )$$

$$\tilde{y}_h 2 y_{h/2} - y_h = y - \frac{b}{2}\ h^2 = y + O(h^2)$$ =

a tedy kombinací y_h a y_h/2 je chyba odhadnuta a řád metody o 1 zvýšen.