Přesnost hledání extrémů

Obecně nelze extrémy hledat s tak vysokou přesností jako třeba řešení rovnic.

Příčinu ukážeme na příkladu minima funkce jedné proměnné. V okolí minima lze danou funkci dobře aproximovat Taylorovým rozvojem

$$f(x) = f(x_m) + 0 + \frac{1}{2} f''(x_m)(x - x_m)^2 + \dots\ \ .$$

Relativní vzdálenost bodu $x$ od skutečného minima $x_m$ je

$$\frac{\vert x - x_m\vert}{\vert x_m\vert} = \sqrt{\frac{\ver... ...{2}{x_m^2}\frac{\vert f(x_m)\vert}{\vert f''(x_m)\vert}} \ \ .$$

Jestliže je funkce $f$ stanovena s relativní přesností $\varepsilon$, pak odchylka nalezeného $x$ od skutečného minima $x_m$ je $\varepsilon_x \sim \sqrt{\varepsilon}$. Pokud lze považovat

$$\frac{2}{x_m^2} \left\vert \frac{f(x_m)}{f''(x_m)} \right\vert \approx 1 \ \ ,$$

je při jednoduché přesnosti chyba určení extrému $\varepsilon_x \approx 10^{-4}$ a při dvojnásobné přesnosti je to $\varepsilon_x \approx 3 \cdot 10^{-8}$.