Spojitý případ

Skalární součin je pak definován vztahy

$$(f,g) \equiv \int \nolimits_a^b f(x)\; g(x) dx\ \ ,\ {\rm příp.} \quad (f,g) \equiv \int \nolimits_a^b w(x)\; f(x)\; g(x) dx$$

Normální rovnice mají tvar

$$\sum_{j=1}^M c_j (g_j, g_l) = (f, g_l).$$

Výběr bázových funkcí

1. Ortogonální polynomy
   1. V případě váhy $w=1$ v intervalu $\langle -1, 1 \rangle$ užijeme Legendreovy polynomy,
      
      $$P_l(x) = \frac{1}{2^l\; l!}\; \frac{d^l}{dx^l} \left[ x^2 - 1 \right]^l$$
      
      
      Nejnižší Legendreovy polynomy jsou
      
      $$P_0 = 1\ , \quad P_1 = x\ , \quad P_2 = \frac{1}{2} (3x^2 -1)\ , \quad P_3 = \frac{1}{2} (5x^3 - 3x)\ .$$
      
      

   2. Je-li interval $x \in \langle -1, 1 \rangle$ a váhová funkce $w = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, užijeme Čebyševovy polynomy $T_n(x)$.
   3. Při váhové funkci $w = e^{-x}$ pro všechna $x \in \langle 0, \infty)$ jsou ortogonální Laguerrovy polynomy.
   4. Při váze $w = e^{-x^2}$ pro všechna $x \in (-\infty, \infty)$ jsou ortogonální Hermiteovy polynomy.
2. Trigonometrické funkce - volba trigonometrických funkcí $1$, $\sin x$, $\cos x$, $\sin 2x$, $\cos 2x$, $\dots$ jako základních funkcí vede k aproximaci Fourierovu řadou. Tyto funkce jsou ortogonální na $\langle a, a + 2 \pi \rangle$, kde $a$ je libovolné. Váhovou funkci pokládáme $w \equiv 1$.