Next: Spojitý případ
Up: Aproximace metodou nejmenších čtverců
Previous: Aproximace metodou nejmenších čtverců
Ve statistice je často třeba aproximovat naměřená
data, zatížená náhodnými chybami měření nebo náhodným šumem
funkční závislostí. Uvedená závislost je nazývána modelem, který
je znám až na neznámých parametrů.
V matematické statistice je uvedená úloha nazývána regresí, a k jejímu
řešení se často používá metoda nejmenších čtverců.
Hlavním cílem statistické analýzy je
- vypočítat koeficienty , kde
- určit směrodatné odchylky koeficientů
, kde
- zjistit kvalitu modelu (zda je použitý model statisticky přijatelný)
Zde chceme nalézt vhodnou aproximaci. Úlohou může být nalezení
hladké aproximace bez konstrukce modelu.
Jednou z možností je použít zvonové spliny jako
bázové funkce.
Nechť je dána síť bodů k krokem . Konstruujeme
zvonový spline (bell spline, B-spline) se středem v . Označme
potom je zvonový spline dán vztahy
Zvonový spline je funkce třídy nenulová pouze v intervalu
. Hledání koeficientů u zvonových splinů vede
na úlohu řešení systému lineárních rovnic s pásovou maticí.
Výpočet parametrů lineární aproximace metodou nejmenších čtverců
- Položíme
, kde ,
a získáme tak rovnic pro neznámých koeficientů .
Ve smyslu nejmenších čtverců úlohu řeší SVD metoda.
- Funkce má minimum, pokud pro
platí
Řešíme pak soustavu lineárních rovnic o neznámých
nazývanou normální rovnice.
Pozn. Jestliže definujeme skalární součin
,
pak lze soustavu normálních rovnic přepsat do tvaru
Výběr bázových (základních) funkcí
- Polynomy - jako bázové funkce jsou často voleny
. Tyto základní funkce jsou však vhodné
jen pro malá , protože při větších M jsou tyto polynomy
přibližně rovnoběžné, soustava normálních rovnic je špatně
podmíněná a chyba koeficientů je značná.
- Ortogonalizované polynomy - problémy, které vznikají
v předchozím případě, zde odpadají. Tyto polynomy konstruujeme
Gramm-Schmidtovým ortogonalizačním procesem.
- Trigonometrické polynomy - mají základní funkce ,
, , , , .... Jsou ortogonální
pro všechny body
, kde
.
Next: Spojitý případ
Up: Aproximace metodou nejmenších čtverců
Previous: Aproximace metodou nejmenších čtverců
Jiri Limpouch
2000-03-24