Spojitá lokální interpolace

Interval ve dvou proměnných $(x_1, x_2)$ je znázorněn na obrázku

Hodnoty v jednotlivých bodech (viz obr. 1) jsou zadány takto $y_1 \equiv y[j,k]$, $y_2 \equiv y[j+1, k]$, $y_3 \equiv y[j+1, k+1]$ a $y_4 \equiv y[j, k+1]$.

Definujeme $t$ a $u$ vztahy

$$t = \frac{x_1 - x_1[j]}{D_1} \ \ , \quad \quad u = \frac{x_2 - x_2[k]}{D_2} \ \ .$$

Pak má lokální interpolace tvar

$$y(x_1, x_2) = (1-t) (1-u) y_1 + t (1-u) y_2 + t u~y_3 + (1-t) u~y_4 \ \ .$$

Tato interpolace s bází $(1, x_1, x_2, x_1 x_2)$ je lineární v každé z proměnných $x_1,\ x_2$. Spojitost na hranicích intervalu je zajištěna - na hranicích přímka, derivace ve směru kolmém k hranici ovšem nemusí existovat.