Eulerova metoda

Systém rovnic vektorově

$$\frac{{\rm d}\, \vec{y}}{{\rm d}\, x} = \vec{f} (x,\, \vec{y})$$

Počáteční podmínky zadávají řešení v bodu $x_0$, řešení budeme hledat postupně v bodech $x_1,\, x_2, \dots, x_n$. Přibližnou hodnotu řešení v bodě $x_{k+1}$ nalezneme s pomocí 2 členů Taylorova rozvoje v bodě $x_k$. Označme $h_k = x_{k+1} - x_k$. Pak

$$\vec{y}_{k+1} \approx \vec{y}_{k} + h_k \cdot \left. \frac{{... ...rt _{x_k} = \vec{y}_{k} + h_k \cdot \vec{f} (x_k,\, \vec{y}_k)$$

Nejnižší zanedbaný člen určuje odhad chyby k-tého kroku Eulerovy metody

$$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \vec{\varepsilon}_k = \vec{y}(x_{k+... ... x} + \sum_j f_j\ \frac{\partial \vec{f}}{\partial y_j}\right)$$

Chyba 1 kroku je tedy úměrná $h^2$, počet kroků v daném intervalu $x \in \langle a,b \rangle$ je $N = (b-a)/h$ a tedy celková chyba je úměrná

$$\left\Vert \vec{\varepsilon} \right\Vert \sim N \cdot h^2 \sim h$$

Eulerova metody je metoda 1. řádu (přesnosti). Je tedy málo přesná, vyžaduje velmi krátký krok, a proto se v praxi používá jen zřídka.

Pozn. Protože $\forall$ vzorce pro systém rovnic jsou jen jednoduchým vektorovým zobecněním vzorců pro 1 rovnici, budeme dále studovat řešení 1 diferenciální rovnice 1. řádu.

Konvergence Eulerovy metody

Nechť je diferenciální rovnice $y' = f(x,y)$ s počáteční podmínkou $y(x_0) = y_0$. Nechť v oblasti $D = \{ (x,y)$, $x_0 \leq x \leq X,\ \vert y - y_0\vert \leq b \}$ je funkce $f(x,y)$ spojitá a ohraničená $\vert f(x,y)\vert < A$. Nechť dále $X - x_0 \leq b/A$ a nechť na množině $D\$ $\exists L > 0$ takové, že platí Lipschitzova podmínka

$$\vert f(x,z) - f(x,y)\vert \leq L \vert z - y\vert\ \ .$$

Potom pro $h \to 0$ platí

1. posloupnost $y_n(x)$ konverguje k $\varphi (x)$,
2. $\varphi (x) \in {\cal C}^1$ je řešení diferenciální rovnice na $x_0 \leq x \leq X$,
3. neexistuje na $x_0 \leq x \leq X$ žádné jiné řešení vyhovující počáteční podmínce.

Pozn. Ke splnění Lipshitzovy podmínky stačí, aby funkce $f$ měla v dané oblasti omezenou parciální derivaci podle $y$.